Isoliertheit der Nullstellen und Identitätssatz.

Isoliertheit der Nullstellen.

Es seien $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet und $ \mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion. Es sei $ \mbox{$f$}$ nicht identisch $ \mbox{$0$}$ auf $ \mbox{$G$}$ . Dann sind die Nullstellen von $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$G$}$ isoliert, d.h. es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \{z_0\in G\;\vert\; f(z_0)=0\}'\cap G \;=\; \emptyset\;, $}$
oder, anders ausgedrückt,
$ \mbox{$\displaystyle \forall z_0\in G: \; f(z_0) =0 \;\implies\; \exists \varepsilon>0:\; f(z)\ne 0\;,\forall z\in B_\varepsilon(z_0)\setminus\{z_0\}\;. $}$

Zu jedem $ \mbox{$z_0\in G$}$ gibt es ein eindeutig bestimmtes $ \mbox{$m\ge 0$}$ und eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion $ \mbox{$g:G\to\mathbb{C}$}$ derart, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; (z-z_0)^m g(z)\;,\;\;\forall z\in G\setminus\{z_0\}\;,\;\;\; g(z_0)\ne 0\;. $}$
Die Zahl $ \mbox{$\text{ord}(f,z_0):=m$}$ heißt die Ordnung oder Vielfachheit der Nullstelle $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ . Ist $ \mbox{$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$}$ die Potenzreihenentwicklung von $ \mbox{$f$}$ um $ \mbox{$z_0$}$ , so gilt
$ \mbox{$\displaystyle \text{ord}(f,z_0) \;=\; \min\{n\ge 0\;\vert\; a_n\ne 0\}\;. $}$

Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Es seien $ \mbox{$f,g:G\to\mathbb{C}$}$ holomorphe Funktionen auf einem Gebiet $ \mbox{$G$}$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.