Lösung.

Wir nehmen an, es gälte

$ \mbox{$\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right) \;=\; \frac{1}{n+1} \;=\; \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} $}$
für alle $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ und wollen einen Widerspruch herleiten. Wir definieren
$ \mbox{$\displaystyle g:G\setminus\{-1\}\to\mathbb{C}\;,\;\; g(z)\;:=\; \frac{z}{1+z}\;. $}$
Dann ist $ \mbox{$g$}$ holomorph, und es gilt
$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; g(z)\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in\left\{\left.\frac{1}{n}\;\right\vert\; n\in\mathbb{N}\right\} \;:=\; M\;. $}$
Nun sind $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ holomorph auf dem Gebiet $ \mbox{$G\setminus\{-1\}$}$ und stimmen auf der Menge $ \mbox{$M$}$ überein, welche den Häufungspunkt $ \mbox{$0\in G\setminus\{-1\}$}$ besitzt. Nach dem Identitätssatz folgt
$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \frac{z}{1+z} \;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in G\setminus\{-1\}\;. $}$
Demnach hätte aber $ \mbox{$f$}$ einen einfachen Pol im Punkt $ \mbox{$-1$}$ , im Widerspruch zur Holomorphie von $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$G$}$ .