Lösung.

Wir nehmen an, die Aussage wäre falsch, d.h. weder $ \mbox{$f$}$ noch $ \mbox{$g$}$ sind identisch $ \mbox{$0$}$ auf $ \mbox{$G$}$ . Es sei $ \mbox{$z_0\in G$}$ beliebig. Dann gibt in jedem Falle ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ derart, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(z)\;\ne\;0\;,\;\; g(z)\;\ne\;0\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\;z\in B_\varepsilon(z_0)\setminus\{z_0\}\;. $}$
Ist nämlich $ \mbox{$z_0$}$ Nullstelle von $ \mbox{$f$}$ oder $ \mbox{$g$}$ , so folgt dies aus dem Satz über die Isoliertheit von Nullstellen holomorpher Funktionen, und ansonsten aus der Stetigkeit.

Daraus folgt nun aber

$ \mbox{$\displaystyle f(z)\cdot g(z)\;\ne\;0 \;,\;\; \text{f\uml ur alle}\;\;z\in B_\varepsilon(z_0)\setminus\{z_0\}\;, $}$
im Widerspruch zur Voraussetzung.

Alternativlösung: Unter obiger Annahme sei $ \mbox{$N_1$}$ bzw. $ \mbox{$N_2$}$ die Menge der Nullstellen von $ \mbox{$f$}$ bzw. $ \mbox{$g$}$ in $ \mbox{$G$}$ . Nach dem Satz über die Isoliertheit der Nullstellen holomorpher Funktionen folgt dann $ \mbox{$N_1'\cap G=\emptyset=N_2'\cap G$}$ . Benutzt man nun die einfache Identität $ \mbox{$(N_1\cup N_2)'=N_1'\cup N_2'$}$ , so folgt, daß die Nullstellenmenge $ \mbox{$N_1\cup N_2$}$ von $ \mbox{$f\cdot g$}$ ebenfalls keine Häufungspunkt in $ \mbox{$G$}$ besitzt, im Widerspruch zur Annahme.