Beispiel.

Es sei $ \mbox{$\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Im z}>0\}$}$ die obere Halbebene. Zeige, daß die Menge $ \mbox{$A(\mathbb{H})$}$ der konformen Abbildungen $ \mbox{$\mathbb{H}\to\mathbb{H}$}$ aus den Möbiustransformationen besteht, welche $ \mbox{$\mathbb{H}$}$ auf sich abbilden.

Bemerkung: Die Menge der Möbiustransformationen, welche $ \mbox{$\mathbb{H}$}$ auf sich abbilden, ist gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle \left\{\left.\mathbb{H}\to\mathbb{H}\;,\;\; z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\;\right\vert\; a,b,c,d\in\mathbb{R}\;,\; ad-bc>0\right\}\;. $}$