Hinweis.

Zeige.

  1. (i)
    Schätze den Summanden auf jedem Kompaktum durch $ \mbox{$\frac{c}{\nu^2}$}$ mit einer Konstanten $ \mbox{$c$}$ ab.
    (ii)
    Die Funktion $ \mbox{$h$}$ ist holomorph auf $ \mbox{$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$}$ . Zeige mit Hilfe des Riemannschen Hebbarkeitssatzes, daß $ \mbox{$h$}$ in den Punkten $ \mbox{$z_0\in\mathbb{Z}$}$ holomorph fortgestetzt werden kann.
    (iii)
    Definiere
    $ \mbox{$\displaystyle s_n(z) \;:=\; \frac{1}{z}+\sum_{\nu=1}^n\frac{2z}{z^2-\nu^2} \;=\; \sum_{\nu=-n}^n\frac{1}{z-\nu}\;, $}$
    und zeige, daß $ \mbox{$s_n(z)=2s_n(z)+\frac{1}{2z+2n+1}$}$ .
    (iv)
    Nach dem Maximumprinzip nimmt $ \mbox{$h$}$ sein Maximum auf $ \mbox{$\overline{B_2(0)}$}$ in einem $ \mbox{$z_0\in\partial B_2(0)$}$ an. Betrachte nun $ \mbox{$h\left(\frac{z_0}{2}\right)+h\left(\frac{z_0}{2}+\frac{1}{2}\right)$}$ .
    (v)
    Die Funktion $ \mbox{$h$}$ ist ungerade.

  2. Leite die Identität aus 1. ab.
  3. Setze in 2. $ \mbox{$z=\frac{1}{2}$}$ .
  4. Summiere getrennt über die geraden und ungeraden $ \mbox{$\nu$}$ .
  5. Leite die Identität aus 2. zweimal ab.
  6. Analog zu 4.