Lösung.

Zunächst ist klar, daß jede Möbiustransformation, welche $ \mbox{$\mathbb{H}$}$ auf sich abbildet, eine konforme Abbildung $ \mbox{$\mathbb{H}\to\mathbb{H}$}$ definiert.

Es sei nun $ \mbox{$f\in A(\mathbb{H})$}$ gegeben. Die Möbiustransformation

$ \mbox{$\displaystyle g(z) \;:=\; \frac{z-\text{i}}{z+\text{i}} $}$
erfüllt
$ \mbox{$\displaystyle g(\mathbb{H}) \;=\; \mathbb{E}\;, $}$
da sie den verallgemeinerten Kreis $ \mbox{$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$}$ mit der Orientierung $ \mbox{$(0,1,\infty)$}$ auf den orientierten Kreis $ \mbox{$\partial\mathbb{E}$}$ mit der Orientierung $ \mbox{$(-1,-\text{i},1)$}$ abbildet.

Also ist $ \mbox{$h:=g\circ f\circ g^{-1}\in A(\mathbb{E})$}$ . Wie bekannt ist $ \mbox{$h$}$ daher eine Möbiustranformation. Folglich ist auch $ \mbox{$f=g^{-1}\circ h\circ g$}$ eine Möbiustransformation.