Aufgabe.

Zeige.

  1. $ \mbox{$\pi\cot(\pi z)=\dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty \frac{2z}{z^2-\nu^2}$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$}$ . Zeige dazu folgende Schritte.
    (i)
    Die obige Funktionenreihe konvergiert normal in $ \mbox{$\mathbb{C}\setminus(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$}$ .
    (ii)
    Die Funktion $ \mbox{$h(z):=\pi\cot(\pi z) -\dfrac{1}{z}-\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty \frac{2z}{z^2-\nu^2}$}$ ist eine ganze Funktion.
    (iii)
    Es gilt $ \mbox{$h(z)+h(z+\frac{1}{2}) =2h(2z)$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ .
    (iv)
    Die Funktion $ \mbox{$h$}$ ist konstant.
    (v)
    Die Funktion $ \mbox{$h$}$ ist identisch $ \mbox{$0$}$ .

  2. $ \mbox{$\dfrac{\pi^2}{(\sin(\pi z))^2}=\displaystyle\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{(z-\nu)^2}$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$}$ .
  3. $ \mbox{$\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\frac{1}{(2\nu-1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$}$ .
  4. $ \mbox{$\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\dfrac{1}{\nu^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$}$ .
  5. $ \mbox{$\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\frac{1}{(2\nu-1)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}$}$ .
  6. $ \mbox{$\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\dfrac{1}{\nu^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$}$ .