Hinweis.

  1. Beachte $ \mbox{$w(\Gamma_1-\Gamma_2,z)=w(\Gamma_1,z)-w(\Gamma_2,z)$}$ für alle $ \mbox{$\Gamma_1,\Gamma_2\in Z_1(G)$}$ und alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus G$}$ .
  2. Das Gebiet $ \mbox{$G$}$ ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn $ \mbox{$w(\gamma,z)=0$}$ gilt für alle $ \mbox{$\gamma\in W(G)$}$ und alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus G$}$ .
  3. Definiere einen Isomorphismus $ \mbox{$\varphi:Z_1(G)\to Z_1(G')$}$ durch
    $ \mbox{$\displaystyle \varphi\left(\sum_{\gamma\in W(G)}a_\gamma \gamma\right) \;:=\; \sum_{\gamma\in W(G)} a_\gamma (f\circ\gamma)\;. $}$
    Zeige
    $ \mbox{$\displaystyle w(f\circ\gamma,z) \;=\; \int_\gamma \dfrac{f'(\zeta)}{f(\zeta)-z}\,\text{d}\zeta\;. $}$
    und verwende die Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes.
  4. Betrachte die Abbildung
    $ \mbox{$\displaystyle \psi:Z_1(G')\;\to\; \mathbb{Z}^n\;,\;\; \psi(\Gamma) \;:=\; (w(\Gamma,z_1),\ldots,w(\Gamma,z_n))\;. $}$
  5. Die Gruppen $ \mbox{$\mathbb{Z}$}$ und $ \mbox{$\mathbb{Z}^2$}$ sind nicht isomorph.