Lösung.

Es sei etwa $ \mbox{$\gamma:[a,b]\to G$}$ ein geschlossener Weg in $ \mbox{$G$}$ . Das Gebiet $ \mbox{$G$}$ sei sternförmig bezüglich des Punktes $ \mbox{$z_0$}$ . Wir definieren die Abbildung $ \mbox{$H:[a,b]\times[0,1]\to G$}$ durch

$ \mbox{$\displaystyle H(s,t) \;:=\; (1-t)\gamma(s) +tz_0\;. $}$
Wegen der Sternförmigkeit von $ \mbox{$G$}$ bildet $ \mbox{$H$}$ in der Tat nach $ \mbox{$G$}$ ab, denn $ \mbox{$H(s,t)$}$ liegt auf der Verbindungsstrecke $ \mbox{$[\gamma(s),z_0]$}$ von $ \mbox{$\gamma(s)$}$ nach $ \mbox{$z_0$}$ , welche ganz in $ \mbox{$G$}$ enthalten ist. Ferner ist $ \mbox{$H$}$ offenbar stetig und erfüllt
$ \mbox{$\displaystyle H(.,0)\;=\;\gamma\;,\;\; H(s,1)=z_0\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; s\in[a,b]\;. $}$
Somit ist $ \mbox{$H$}$ eine Homotopie, und $ \mbox{$\gamma$}$ ist $ \mbox{$G$}$ -nullhomotop zu einem konstanten Weg.