Aufgabe.

(Die Homologiegruppe eines Gebiets)

Diese Aufgabe setzt elementare Kenntnisse in der Gruppentheorie voraus.

Es sei $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ ein Gebiet, und es sei $ \mbox{$W(G)$}$ die Menge aller geschlossenen Wege in $ \mbox{$G$}$ . Für diese Aufgabe sei ein Wegezyklus eine formale Summe der Form

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{\gamma \in W(G)} a_\gamma \gamma\;, $}$
wobei $ \mbox{$a_\gamma \in \mathbb{Z}$}$ , und es gelte $ \mbox{$a_\gamma=0$}$ für fast alle $ \mbox{$\gamma \in W(G)$}$ . Es sei $ \mbox{$Z_1(G)$}$ die Menge aller Wegezyklen in $ \mbox{$G$}$ ; diese wird durch die Addition
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{\gamma \in W(G)} a_\gamma \gamma + \sum_{\gamma \i... ...} b_\gamma \gamma \;:=\; \sum_{\gamma \in W(G)} (a_\gamma + b_\gamma)\gamma $}$
zu einer abelschen Gruppe. Ein Wegezyklus $ \mbox{$\Gamma = \sum_{\gamma \in W(G)} a_\gamma \gamma$}$ heißt $ \mbox{$G$}$ -nullhomolog, falls
$ \mbox{$\displaystyle w(\Gamma, z) \;:=\; \sum_{\gamma \in W(G)} a_\gamma w(\g... ...\;=\;0\;,\;\; \text {f\uml ur alle } \; \; z \in \mathbb{C} \setminus G \;. $}$
Zeige.
  1. Die Menge $ \mbox{$B_1(G)$}$ aller $ \mbox{$G$}$ -nullhomologer Wegezyklen ist eine Untergruppe von $ \mbox{$Z_1(G)$}$ .
  2. $ \mbox{$G$}$ ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn die Homologiegruppe von $ \mbox{$G$}$ , definiert durch $ \mbox{$H_1(G) := Z_1(G)/B_1(G)$}$ , trivial ist.
  3. Ist $ \mbox{$f: G \to G'$}$ eine konforme Abbildung, so sind $ \mbox{$H_1(G)$}$ und $ \mbox{$H_1(G')$}$ isomorph.
  4. Es sei $ \mbox{$G$}$ einfach zusammenhängend, und $ \mbox{$z_1, \ldots , z_n \in G$}$ seien paarweise verschieden. Dann ist $ \mbox{$H_1(G \setminus\{z_1, \ldots , z_n\})$}$ isomorph zu $ \mbox{$\mathbb{Z}^n$}$ .
  5. Es gibt keine konforme Abbildung $ \mbox{$\ \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$}$ .