Lösung.

Es sei etwa $ \mbox{$\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}$}$ . Dann gibt es eine endliche Menge $ \mbox{$N$}$ derart, daß $ \mbox{$\gamma$}$ stetig differenzierbar ist auf $ \mbox{$[a,b]\setminus N$}$ . Man definiere

$ \mbox{$\displaystyle \varphi (s)\;:=\;\exp\left(\int_a^s \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\,\text{d}t\right) $}$
für alle $ \mbox{$s \in [a,b]$}$ , wobei das Integral als uneigentlich an den Stellen in $ \mbox{$N$}$ zu verstehen ist. Dann ist $ \mbox{$\varphi$}$ stetig, und mit der Kettenregel folgt
$ \mbox{$\displaystyle \varphi'(s) \;=\; \varphi(s)\cdot\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z} $}$
für alle $ \mbox{$s \in [a,b]\setminus N$}$ . Also wird
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}s}\; \frac{\varphi(s)}{\gamma(s)... ...c{\varphi'(s)(\gamma(s)-z)-\varphi(s)\gamma'(s)}{(\gamma(s)-z)^2}\; =\; 0\;, $}$
für alle $ \mbox{$s \in [a,b]\setminus N$}$ . Da die Funktion $ \mbox{$[a,b] \to \mathbb{C}$}$ , $ \mbox{$s \mapsto \frac{\varphi(s)}{\gamma(s)-z}$}$ darüberhinaus stetig ist, ist sie konstant. Mithin ist
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\varphi(a)}{\gamma(a)-z}\;=\;\frac{\varphi(b)}{\gamma(b)-z}\;, $}$
und wegen $ \mbox{$\gamma(a)=\gamma(b)$}$ folgt
$ \mbox{$\displaystyle 1\;=\;\varphi(a)\;=\;\varphi(b)\;=\;e^{2\pi\text{i}\,w(\gamma,z)}\;. $}$
Demnach gilt $ \mbox{$w(\gamma,z) \in \mathbb{Z}$}$ .

Alternativlösung:

Man wähle eine Unterteilung $ \mbox{$a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$}$ derart, daß die Teilkurven $ \mbox{$\gamma\vert _{[t_k,t_{k+1}]}$}$ in Halbebenen bezüglich Geraden durch $ \mbox{$z$}$ liegen. Für die Windungszahl gilt dann

$ \mbox{$\displaystyle w(\gamma,z) \;=\; \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\text{Arg}\,\dfrac{\gamma(t_{k+1})-z}{\gamma(t_k)-z}\;. $}$
Nun gilt
$ \mbox{$\displaystyle \text{Arg}\,\dfrac{\gamma(t_{k+1})-z}{\gamma(t_k)-z}\;=\;\text{Arg}(\gamma(t_{k+1})-z)-\text{Arg}(\gamma(t_k)-z)+ 2\pi m_k $}$
für gewisse $ \mbox{$m_k \in \mathbb{Z}$}$ . Somit gilt
$ \mbox{$\displaystyle w(\gamma,z)\;=\; \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\t... ...ma(t_k)-z)+ 2\pi m_k\right) \;=\; \sum_{k=0}^{n-1} m_k \;\in\; \mathbb{Z}\;. $}$