Hinweis.

  1. Beweise durch Induktion nach $ \mbox{$k\in\{0,\ldots,n\}$}$ , daß gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^n\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n t^{x-1}\,\text{d}t... ...-\nu}{x+\nu} \int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-k}t^{x+k-1}\,\text{d}t\;. $}$
  2. Betrachte die Folge $ \mbox{$a_n:=\left(1-\frac{t}{n})^n$}$ und zeige mit Bernoulli, daß $ \mbox{$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$}$ gilt.
  3. Beweise zunächst, daß für $ \mbox{$0\le t<n$}$ gilt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle 0 \;\le\; e^{-t}-\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \;\le\; e^{-t} -e^{-t}\left(1-\frac{t^2}{n}\right) \;=\; e^{-t}\,\frac{t^2}{n}\;. $}$
    Zeige damit, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^n t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t-\int_0^n t^{x-1}\left(... ...c{t}{n}\right)^n\,\text{d}t\;\to\;0 \;,\;\;\text{f\uml ur}\;\; n\to\infty\;. $}$

  4. Zeige, daß $ \mbox{$\left\vert\left(1+\dfrac{z}{\nu}\right)e^{-z/\nu}-1\right\vert$}$ auf jedem Kompaktum durch $ \mbox{$\frac{c}{\nu^2}$}$ abgeschätzt werden kann mit einer Konstanten $ \mbox{$c>0$}$ .

  5. Zeige, daß $ \mbox{$h(1)>0$}$ gilt.
  6. Bestimme $ \mbox{$\text{Log }h(1)$}$ .
  7. Betrachte die Funktion $ \mbox{$\Phi(z) \;:=\; ze^{\gamma z}h(z)$}$ , und zeige mit 2., daß diese Funktion für $ \mbox{$z\in[1,\infty)$}$ mit $ \mbox{$\frac{1}{\Gamma(z)}$}$ übereinstimmt.
  8. Bestimme die Nullstellen der Funktion $ \mbox{$\Phi(z)$}$ .