Lösung.

  1. Das Produkt konvergiert sogar absolut, da die Reihe
    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \left\vert\frac{-1}{n^2}\right\vert \;=\; \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} $}$
    konvergiert. Die Partialprodukte ergeben sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \;=\; \prod_{... ...2} \;=\; \frac{(N+1)!(N-1)!}{2\cdot N!\cdot N!} \;=\; \frac{N+1}{2(N-1)}\;. $}$
    Also hat das unendliche Produkt den Wert
    $ \mbox{$\displaystyle \prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \;=\; \lim_{N\to\infty} \frac{N+1}{2(N-1)} \;=\; \frac{1}{2}\;. $}$

  2. Nach dem notwendigen Kriterium ist $ \mbox{$\vert z\vert<1$}$ sicher notwendig für die Konvergenz, da ansonsten $ \mbox{$1+z^{2^n}\not\to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$ .

    Es sei nun $ \mbox{$\vert z\vert<1$}$ . Dann konvergiert das Produkt sogar absolut, denn die Reihe

    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left\vert z^{2^n}\right\vert \;=\; \s... ...rt z\vert^{2^n} \;\le\; \sum_{n=0}^\infty \vert z\vert^n \;=\; \frac{1}{1-z} $}$
    konvergiert. Die Partialprodukte ergeben sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \prod_{n=0}^N (1+z^{2^n}) \;=\; \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1}z^n \;=\; \frac{1-z^{2^{N+1}}}{1-z}\;, $}$
    wie man leicht durch Induktion nach $ \mbox{$N$}$ nachweist.

    Das unendliche Proukt $ \mbox{$\prod_{n=0}^\infty (1+z^{2^n})$}$ konvergiert also genau dann, wenn $ \mbox{$\vert z\vert<1$}$ , und dann konvergiert es auch absolut und hat den Wert

    $ \mbox{$\displaystyle \prod_{n=0}^\infty (1+z^{2^n}) \;=\; \frac{1}{1-z}\;. $}$