Lösung.

Es sei $ \mbox{$K\subseteq\mathbb{C}$}$ kompakt, und es sei $ \mbox{$c:=\max\{\vert z\vert\;:\; z\in K\}$}$ . Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{z^2}{n^2}\right\vert\;\le\; \frac{c^2}{n... ...\;z\in K\;,\;\; \text{und}\;\;\sum_{n=1}^\infty\frac{c^2}{n^2}\;<\;\infty\;. $}$
Also konvergiert die Reihe $ \mbox{$\sum_{n=1}^\infty\frac{z^2}{n^2}$}$ normal auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ . Folglich konvergiert auch das Produkt $ \mbox{$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$}$ normal auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ und stellt daher eine ganze Funktion dar.

Die Nullstellen ergeben sich aus

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(... ...; z^2=n^2\vspace*{2mm}\\ &\iff& z\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\;. \end{array}$}$

Bemerkung: Die gegebene Funktion ist gleich $ \mbox{$\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}$}$ .