Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet, und $ \mbox{$g:=\prod_{n=m}^\infty f_n$}$ sei kompakt konvergent auf $ \mbox{$G$}$ . Ferner sei jede Funktion $ \mbox{$f_n:G\to\mathbb{C}$}$ holomorph und nicht identisch $ \mbox{$0$}$ , und es sei $ \mbox{$N$}$ die Vereinigung der Nullstellenmengen aller Funktionen $ \mbox{$f_n$}$ , $ \mbox{$n\ge m$}$ .

  1. Zeige, daß $ \mbox{$g$}$ holomorph ist, und für die logarithmische Ableitung von $ \mbox{$g$}$ gilt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{g'}{g} \;=\; \sum_{n=m}^\infty \frac{f_n'}{f_n} $}$
    auf $ \mbox{$G\setminus N$}$ , und die Reihe konvergiert kompakt auf $ \mbox{$G\setminus N$}$ .
  2. Es sei nun $ \mbox{$f_n(z)\ne 0$}$ für alle $ \mbox{$n\ge m$}$ und alle $ \mbox{$z\in G$}$ , d.h. $ \mbox{$N=\emptyset$}$ . Ferner sei $ \mbox{$G$}$ einfach zusammenhängend. Zeige, daß es Zweige $ \mbox{$\log f_n$}$ der Funktionen $ \mbox{$f_n$}$ derart gibt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \log g \;=\; \sum_{n=m}^\infty \log f_n $}$
    auf $ \mbox{$G$}$ gilt, und die Reihe konvergiert kompakt auf $ \mbox{$G$}$ .