Repetitorium Funktionentheorie

Aufgabe.

Die Eulersche Gammafunktion.

Die Eulersche Gammafunktion ist eine auf $\mbox{$\text{Re }z>0$}$ holomorphe Funktion, definiert durch

$\mbox{$\displaystyle \Gamma(z) \;:=\; \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,\text{d}t\;. $}$

Ziel dieser Aufgabe ist die Darstellung von $\mbox{$\frac{1}{\Gamma}$}$ als ganze Funktion und von $\mbox{$\Gamma$}$ als meromorphe Funktion vermöge

$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{lclcl} \dfrac{1}{\Gamma}\,(z) &=& ze^{\gam... ...yle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdot\ldots\cdot (z+n)}\;, \end{array}$}$

für alle $\mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ bzw. alle $\mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}$}$ . Zeige dazu die folgenden Schritte.

$\mbox{$\displaystyle\int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^nt^{x-1}\,\text{d}t=\frac{n! n^x}{x(x+1)\cdot\ldots\cdot(x+n)}$}$ für $\mbox{$x\ge 1$}$ .
$\mbox{$\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n\le e^{-t}$}$ für alle $\mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ mit $\mbox{$n>t$}$ .
$\mbox{$\Gamma(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdot\ldots\cdot(x+n)}$}$ für alle $\mbox{$x\ge 1$}$ .
Das unendliche Produkt $\mbox{$h(z):=\displaystyle\prod_{\nu=1}^\infty\left(1+\frac{z}{\nu}\right)e^{-z/\nu}$}$ konvergiert normal auf $\mbox{$\mathbb{C}$}$ und stellt eine ganze Funktion dar.
Es gibt ein $\mbox{$\gamma\in\mathbb{R}$}$ so, daß $\mbox{$e^\gamma=h(1)$}$ .
$\mbox{$\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\right)$}$ . (Eulersche Konstante)
$\mbox{$\frac{1}{\Gamma}$}$ läßt sich zu einer ganzen Funktion fortsetzen, und es gilt obige Darstellung für $\mbox{$\frac{1}{\Gamma}$}$ auf $\mbox{$\mathbb{C}$}$ .
$\mbox{$\Gamma$}$ besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf $\mbox{$\mathbb{C}$}$ . Ihre Singularitäten sind Pole der Ordnung $\mbox{$1$}$ in den Punkten $\mbox{$0,-1,-2,\ldots$}$ . Es gilt obige Darstellung für $\mbox{$\Gamma$}$ auf $\mbox{$\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}$}$ . Ferner hat $\mbox{$\Gamma$}$ keine Nullstelle auf $\mbox{$\mathbb{C}$}$ .