Aufgabe.

  1. Zeige die Produktentwicklung des Sinus und den folgenden Zusammenhang mit der Gammafunktion
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcll} \sin(\pi z) &=& \pi z\displaystyle\p... ... &=& \dfrac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}\;,&\forall z\in\mathbb{C}\;. \end{array}$}$
  2. Zeige
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\text{d}x \;=\; \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \;=\; \sqrt{\pi}\;. $}$
Als bekannt vorausgesetzt sei dabei die Produktentwicklung der Gammafunktion sowie die Identität
$ \mbox{$\displaystyle \pi\cot(\pi z) \;=\; \dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{\nu... ...-\nu^2}\;,\;\; \text{f\uml ur alle}\;\; z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\;. $}$