Repetitorium Funktionentheorie

Lösung.

Zuerest untersuchen wir das unendliche Produkt auf normale Konvergenz. Es sei etwa $\mbox{$K\subseteq \mathbb{E}$}$ kompakt. Dann folgt für $\mbox{$z\in K$}$ , daß
$\mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{1}{1-z^n}-1\right\vert \;=\; \left\vert... ...t \;\le\; \frac{\vert z\vert^n}{1-\vert z\vert^2} \;\le\; \frac{r^n}{1-r}\;, $}$
wobei
$\mbox{$\displaystyle r \;:=\; \max\{\vert z\vert\;:\; z\in K\}\;, $}$
und die Reihe
$\mbox{$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{r^n}{1-r} $}$
konvergiert. Also konvergiert die Reihe $\mbox{$\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{1-z^n}-1\right)$}$ normal auf $\mbox{$\mathbb{E}$}$ . Definitionsgemäß konvergiert das Produkt $\mbox{$\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}$}$ normal auf $\mbox{$\mathbb{E}$}$ . Insbesondere stellt
$\mbox{$\displaystyle F(z) \;:=\; \prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n} $}$
eine holomorphe Funktion auf $\mbox{$\mathbb{E}$}$ dar.
Wir definieren $\mbox{$p_m(n)$}$ als die Anzahl der Partitionen von $\mbox{$n$}$ , deren Summanden alle $\mbox{$\le m$}$ sind. Die Partialprodukte ergeben sich zu
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} \displaystyle\prod_{n=1}^m\frac{1}{... ... \vspace*{2mm}\\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}^\infty p_m(n)z^n, \end{array}$}$
denn in der Darstellung $\mbox{$1\nu_1+2\nu_2+\ldots+m\nu_m=n$}$ entspricht einer Partition von $\mbox{$n$}$ mit $\mbox{$\nu_1$}$ Summanden $\mbox{$1$}$ , $\mbox{$\nu_2$}$ Summanden $\mbox{$2$}$ , $\mbox{$\ldots$}$ , $\mbox{$\nu_m$}$ Summanden $\mbox{$m$}$ . Die Potenzreihe am Ende dieser Rechnung konvergiert absolut, da wir endlich viele absolut konvergente geometrische Reihen ausmultipliziert haben. Es bleibt also zu zeigen, daß
$\mbox{$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^\infty p_m(n)z^n \;\overset{!}=\; \sum_{m=0}^\infty p(n)z^n\;. $}$
Es sei nun $\mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ mit $\mbox{$0<x<1$}$ . Dann gilt
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} 0 &\le& \displaystyle\sum_{n=0}^m ... ...=1}^\infty \frac{1}{1-x^n} &=& F(x)\vspace*{2mm}\\ &<& \infty & \end{array}$}$
für alle $\mbox{$m\in\mathbb{N}$}$ . Daraus folgt
$\mbox{$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \;<\; \infty\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; x\in(0,1)\;. $}$
Folglich hat die Potenzreihe $\mbox{$\sum_{n=1}^\infty p(n)z^n$}$ den Konvergenzradius $\mbox{$1$}$ und stellt auf $\mbox{$\mathbb{E}$}$ eine holomorphe Funktion dar. Ferner gilt für $\mbox{$x\in(0,1)$}$ , daß
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} 0 &\le& \displaystyle\sum_{n=0}^\in... ...m+1}^\infty p(n)x^n &\to& 0 \;\;\text{f\uml ur}\;\; m\to\infty\;, \end{array}$}$
denn es gilt $\mbox{$0\le p_m(n)\le p(n)$}$ , und $\mbox{$p_m(n)=p(n)$}$ für $\mbox{$n\le m$}$ . Daraus folgt
$\mbox{$\displaystyle F(x) \;=\; \prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-x^n} \;=\; \lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^\infty p_m(n)x^n \;=\; \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n $}$
für alle $\mbox{$x\in(0,1)$}$ . Da beide Seiten dieser Gleichung holomorphe Funktionen auf $\mbox{$\mathbb{E}$}$ sind, folgt nach dem Identitätssatz, daß
$\mbox{$\displaystyle F(z) \;=\; \sum_{n=0}^\infty p(n) z^n $}$
für alle $\mbox{$z\in\mathbb{E}$}$ .