Lösung.

  1. Die Funktion $ \mbox{$g$}$ ist als Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Funktionenfolge holomorph. Ferner ist $ \mbox{$N$}$ die Menge der Nullstellen von $ \mbox{$g$}$ in $ \mbox{$G$}$ . Insbesondere hat $ \mbox{$N$}$ keinen Häufungspunkt in $ \mbox{$G$}$ und $ \mbox{$G\setminus N$}$ ist ein Gebiet.

    Es sei nun $ \mbox{$K\subseteq G\setminus N$}$ kompakt. Es sei $ \mbox{$g_k:=\prod_{n=m}^k f_n$}$ . Dann gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \frac{g_k'}{g_k} \;=\; \sum_{n=m}^k\frac{f_n'}{f_n} $}$
    auf $ \mbox{$K$}$ . Wir wollen zeigen, daß $ \mbox{$\frac{g_k'}{g_k}$}$ gleichmäßig auf $ \mbox{$K$}$ gegen $ \mbox{$\frac{g'}{g}$}$ konvergiert.

    Zunächst gibt es Konstanten $ \mbox{$c_0,c_1,c_2>0$}$ derart, daß

    $ \mbox{$\displaystyle c_0\;\le\;\vert g(z)\vert\;\le\; c_1\;,\;\; \vert g'(z)\vert\;\le\;c_2,\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in K\;. $}$
    Es sei nun $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ . Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von $ \mbox{$g_k\to g$}$ und $ \mbox{$g_k'\to g'$}$ auf $ \mbox{$K$}$ gibt es ein $ \mbox{$k_0\ge m$}$ derart, daß für alle $ \mbox{$k\ge k_1$}$ und alle $ \mbox{$z\in K$}$ gilt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)-g_k(z)\vert\;<\;\varepsilon\;,\;\; \vert g'(z)-g_k'(z)\vert\;\<\;\varepsilon\;. $}$
    Nimmt man zusätzlich $ \mbox{$\varepsilon<c_0$}$ an, so gilt auch noch
    $ \mbox{$\displaystyle d_0:=c_0-\varepsilon\;\le\; \vert g_k(z)\vert\;\le\; c_1+\varepsilon=:d_1\;,\;\; \vert g_k'(z)\vert\;\le\; c_2+\varepsilon=:d_2 $}$
    für alle $ \mbox{$k\ge k_0$}$ und alle $ \mbox{$z\in K$}$ , und somit
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert\dfrac{g'(z)}{g(z)}-\dfrac{... ...d_1+d_2\varepsilon) \;=\; \dfrac{d_1+d_2}{c_0d_0}\,\varepsilon\;. \end{array}$}$
    Also konvergiert $ \mbox{$\frac{g_k'}{g_k}$}$ gleichmäßig auf $ \mbox{$K$}$ gegen $ \mbox{$\frac{g'}{g}$}$ . Da $ \mbox{$K$}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

  2. Es sei $ \mbox{$z_0\in G$}$ fest gewählt. Für jedes $ \mbox{$n\ge m$}$ sei $ \mbox{$\log f_n$}$ ein Zweig des Logarithmus von $ \mbox{$f_n$}$ auf $ \mbox{$G$}$ mit
    $ \mbox{$\displaystyle (\log f_n)(z_0) \;=\; \text{Log}(f_n(z_0))\;. $}$
    Aus der Konvergenz des unendlichen Produktes $ \mbox{$\prod_{n=m}^\infty f_n(z_0)$}$ folgt mit dem Logarithmuskriterium, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{n=m}^\infty (\log f_n)(z_0) $}$
    konvergiert. Ferner konvergiert die Reihe der Ableitungen
    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{n=m}^\infty (\log f_n)' \;=\; \sum_{n=m}^\infty \frac{f_n'}{f_n} $}$
    nach Teil 1. kompakt auf $ \mbox{$G$}$ gegen $ \mbox{$\frac{g'}{g}$}$ . Nach dem Satz über die Stammfunktion der Grenzfunktion ist daher auch die Reihe
    $ \mbox{$\displaystyle h \;:=\; \sum_{n=m}^\infty \log f_n $}$
    kompakt auf $ \mbox{$G$}$ konvergent, und die Grenzfunktion $ \mbox{$h$}$ ist eine Stammfunktion von $ \mbox{$\frac{g'}{g}$}$ . Daher ist $ \mbox{$e^h=c\cdot g$}$ für ein Konstante $ \mbox{$c\ne 0$}$ . Es gilt jedoch
    $ \mbox{$\displaystyle c\cdot g(z_0) \;=\; e^{h(z_0)} \;=\; \prod_{n=m}^\infty e^{\text{Log}(f_n(z_0))} \;=\; \prod_{n=m}^\infty f_n(z_0) \;=\; g(z_0)\;, $}$
    und daher $ \mbox{$c=1$}$ . Mithin ist $ \mbox{$e^h=g$}$ , d.h. $ \mbox{$h$}$ ist ein Zweig des Logarithmus von $ \mbox{$g$}$ , mit anderen Worten
    $ \mbox{$\displaystyle \log g \;=\; h \;=\; \sum_{n=m}^\infty \log f_n\;. $}$