Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$}$ definiert durch
    $ \mbox{$\displaystyle f(z) \;:=\; \pi z\prod_{\nu=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{\nu^2}\right)\;. $}$
    Das unendliche Produkt in dieser Definition ist normal konvergent auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ , denn auf jedem Kompaktum $ \mbox{$K\subseteq\mathbb{C}$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \left\vert-\frac{z^2}{\nu^2}\right\vert \;\le\; \frac{c}{\nu^2} $}$
    mit $ \mbox{$c:=\max\{\vert z\vert\;:\; z\in K\}$}$ , und
    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{\nu=1}^\infty \frac{c}{\nu^2} \;<\; \infty\;. $}$

    Folglich stellt $ \mbox{$f$}$ eine ganze Funktion dar, und sie besitzt nur einfache Nullstellen in den ganzen Zahlen. Die Funktion $ \mbox{$\sin(\pi z)$}$ besitzt dieselben einfachen Nullstellen, somit ist $ \mbox{$\frac{\sin(\pi z)}{f(z)}$}$ fortsetzbar zu einer ganzen Funktion ohne Nullstelle. Da $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es einen Logarithmus $ \mbox{$g$}$ dieser Funktion, d.h. eine ganze Funktion $ \mbox{$g$}$ mit

    $ \mbox{$\displaystyle \sin(\pi z) \;=\; f(z)\cdot e^{g(z)}\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in\mathbb{C}\;. $}$
    Betrachtet man die logarithmischen Ableitungen dieser Funktionen, so ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \pi\cot(\pi z) &=& \dfrac{(\sin(\pi z... ...1}{z}+\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\dfrac{2z}{z^2-\nu^2}+g'(z) \end{array}$}$
    für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$}$ . Vergleicht man das mit der bekannten Identität
    $ \mbox{$\displaystyle \pi\cot(\pi z) \;=\; \dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty \frac{2z}{z^2-\nu^2}\;, $}$
    so folgt daraus $ \mbox{$g'(z)=0$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$}$ . Aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt $ \mbox{$g'(z)=0$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ . Somit ist $ \mbox{$g$}$ konstant. Der Wert dieser Konstanten ergibt sich durch
    $ \mbox{$\displaystyle 1 \;=\; \lim_{z\to 0}\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} \;=\; \li... ...infty\left(1-\frac{z^2}{\nu^2}\right)\cdot e^{g(z)} \;=\; 1\cdot e^{g(0)}\;. $}$
    Also ist $ \mbox{$e^g=1$}$ auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ , und es folgt die Produktdarstellung
    $ \mbox{$\displaystyle \sin(\pi z) \;=\; \pi z\displaystyle\prod_{\nu=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{\nu^2}\right)\;,\;\;\forall z\in\mathbb{C}\;. $}$

    Daraus ergibt sich auch der Zusammenhang mit der Gammafunktion:

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)} &=& \... ...2}{\nu^2}\right)\vspace*{2mm}\\ &=& \dfrac{\sin(\pi z)}{\pi}\;. \end{array}$}$

  2. Es wird nach obigem
    $ \mbox{$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 \;=\; \Gamma\left(\fra... ...t\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right) \;=\; \frac{\pi}{\sin(\pi/2)} \;=\; \pi\;. $}$
    Ferner ist
    $ \mbox{$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \;=\; \int_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}\,\text{d}t \;\ge\; 0\;. $}$
    Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \;=\; \sqrt{\pi}\;. $}$
    Ferner wird durch Substitution $ \mbox{$t=x^2$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\text{d}x \;=\; 2\int_0^... ...t_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}\,\text{d}t \;=\; \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\;. $}$