Lösung.

  1. Durch Polynomdivision ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{z^3+ 3z +2\text{i}}{z^2+1}\;=\; \frac{(z^2-\text{i... ...xt{i})}{(z+\text{i})(z-\text{i})} \;=\; \frac{z^2-\text{i}+2}{z-\text{i}}\;. $}$
    Es handelt sich also um eine hebbare Singularität. Der Grenzwert zum Punkt $ \mbox{$-\text{i}$}$ ist
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{z \to -\text{i}} \frac{z^3+ 3z +2\text{i}}{z^2+1} ... ...; \frac{(-\text{i})^2 -\text{i}(-\text{i})+2}{-\text{i}-\text{i}} \;=\; 0\;. $}$
  2. Der Punkt $ \mbox{$z_0=0$}$ ist eine Nullstelle der Ordnung $ \mbox{$1$}$ von $ \mbox{$g(z):=1-e^z$}$ , denn es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle g(0)=0 \;,\;\; g'(0)\;=\;-1\;\ne\;0\;. $}$
    Daher ist $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ von $ \mbox{$f(z):=\frac{1}{1-e^z}$}$ . Das Residuum von $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$z_0$}$ ergibt sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_0(f)\;=\; \lim_{z\to 0} z\cdot\frac{1}{1-e^z} \;=\; \lim_{z\to 0} \frac{z-0}{g(z)-g(0)} \;=\; \frac{1}{g'(0)} \;=\; -1\;. $}$
    Damit ergibt sich der Hauptteil zu
    $ \mbox{$\displaystyle -\frac{1}{z}\;. $}$
  3. Mit der Potenzreihenentwicklung von $ \mbox{$\cos$}$ um $ \mbox{$z_0=0$}$ ergibt sich die Laurentreihenentwicklung
    $ \mbox{$\displaystyle \cos\,\frac{1}{z}\;=\; \sum_{\nu=0}^\infty \frac{(-1)^\n... ... \;=\; 1+ \sum_{\nu=-\infty}^{-1} \frac{(-1)^{-\nu}}{(-2\nu)!}\, z^{2\nu}\;. $}$
    Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele Koeffizienten $ \mbox{$\ne 0$}$ . Damit ist $ \mbox{$z_0$}$ eine wesentliche Singularität von $ \mbox{$\cos(1/z)$}$ .