Lösung.

Wir können schreiben

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \frac{a_{-1}}{z-z_0}+g(z) $}$
mit einer auf $ \mbox{$G$}$ holomorphen Funktion $ \mbox{$g$}$ und
$ \mbox{$\displaystyle a_{-1} \;=\; \text{Res}_{z_0}(f)\;. $}$
Ist $ \mbox{$R>0$}$ so gewählt, daß $ \mbox{$\overline{B_R(z_0)}\subseteq G$}$ , so gilt für $ \mbox{$0<r\le R$}$ , daß
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\gamma_r} f &=& \d... ...&=& (\beta-\alpha)\text{i}a_{-1}+\displaystyle\int_{\gamma_r}g\;. \end{array}$}$
Andererseits gilt
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\int_{\gamma_r} g\right\vert \;\le\; (\beta-\... ...(z)\vert\;:\; z\in B_R(z_0)\} \;\to\; 0\;,\;\;\text{f\uml ur}\;\; r\to 0\;. $}$
Daraus folgt
$ \mbox{$\displaystyle \int_{\gamma_r}f \;\to\; (\beta-\alpha)\text{i}a_{-1}\;,\;\;\text{f\uml ur}\;\; r\to 0\;. $}$