Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$z_0 \in G$}$ eine Singularität einer holomorphen Funktion $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ , und es sei $ \mbox{$g :G \to \mathbb{C}$}$ holomorph. Zeige.

  1. Ist $ \mbox{$z_0$}$ Pol der Ordnung 1 von $ \mbox{$f$}$ , so gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(g\cdot f) \;=\; g(z_0) \cdot \text{Res}_{z_0}(f)\;. $}$
  2. Ist $ \mbox{$z_0$}$ eine Nullstelle der Ordnung 1 von $ \mbox{$f$}$ , so gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}\left(\frac{g}{f}\right)=\frac{g(z_0)}{f'(z_0)}\;. $}$
  3. Es sei $ \mbox{$z_0$}$ hebbar oder ein Pol und es sei $ \mbox{$f$}$ nicht identisch $ \mbox{$0$}$ . Dann gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f}\right)\;=\; \begin{c... ...z_0$}$} Pol der Ordnung {$\mbox{$n$}$} von {$\mbox{$f$}$} ist}\;. \end{cases}$}$
  4. Bestimme den Hauptteil der Laurentreihenentwicklung und das Residuum von $ \mbox{$\tan z$}$ im Punkt $ \mbox{$z_0:=\frac{\pi}{2}$}$ .