Aufgabe.

  1. Bestimme jeweils die Singularitäten und die entsprechenden Residuen der Funktion.
    (i)
    $ \mbox{$\dfrac{z^2}{(1+z)^3}$}$
    (ii)
    $ \mbox{$z\cdot e^{\frac{1}{1-z}}$}$
    (iii)
    $ \mbox{$\ \dfrac{1}{(z^2+1)(z-1)^2}$}$
    (iv)
    $ \mbox{$\dfrac{1}{\sin(\pi z)}$}$
  2. Berechne die folgenden Residuen
    (i)
    $ \mbox{$\ \text{Res}_0 \left(\dfrac{z^{n-1}}{(\sin z)^n}\right)$}$ , wobei $ \mbox{$n\ge 1$}$ .
    (ii)
    $ \mbox{$\ \text {Res}_0 \left(\dfrac{z-1}{\log(z+1)}\right)$}$
    (iii)
    $ \mbox{$\ \text{Res}_1 \left(\dfrac{z}{1- \sqrt{2-z}}\right)$}$