Singularitäten und Laurentreihen.

Isolierte Singularitäten.

Ist $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ offen, $ \mbox{$\ z_0 \in G$}$ und $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ holomorph, dann heißt $ \mbox{$z_0$}$ Singularität (oder auch isolierte Singularität) von $ \mbox{$f$}$ .

Klassifikation von Singularitäten.

Es seien $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ eine offene Menge, ein Punkt $ \mbox{$\ z_0 \in G$}$ und eine holomorphe Funktion $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ gegeben. Die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ heißt

Charakterisierungen.

Es seien $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ eine offene Menge, ein Punkt $ \mbox{$\ z_0 \in G$}$ und eine holomorphe Funktion $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ gegeben.

(Riemannscher Hebbarkeitssatz) Die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ ist hebbar genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist.

Die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ ist ein Pol genau dann, wenn es eine holomorphe Funktion $ \mbox{$g: G \to \mathbb{C}$}$ und ein $ \mbox{$n\ge 1$}$ gibt derart, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \frac{g(z)}{(z-z_0)^n}\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\;z\in G\setminus\{z_0\}\;,\;\;g(z_0)\ne 0\;. $}$
Dann sind $ \mbox{$n$}$ und $ \mbox{$g$}$ durch $ \mbox{$f$}$ eindeutig bestimmt, und $ \mbox{$n$}$ heißt die Ordnung des Pols $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ .

(Satz von Casorati-Weierstraß) Die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ ist eine wesentliche Singularität von $ \mbox{$f$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$f$}$ in jeder Umgebung von $ \mbox{$z_0$}$ jedem Wert $ \mbox{$w \in \mathbb{C}$}$ beliebig nahe kommt, d.h. zu jedem $ \mbox{$w \in \mathbb{C}$}$ gibt es eine Folge $ \mbox{$(z_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}$}$ in $ \mbox{$G\setminus\{z_0\}$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{\nu\to\infty} z_\nu \;=\; z_0\;,\;\; \lim_{\nu\to\infty} f(z_\nu)\;=\;w\;. $}$

Laurentreihen.

Für $ \mbox{$k \in \mathbb{Z}$}$ sei $ \mbox{$a_k \in \mathbb{C}$}$ . Dann heißt

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k $}$
eine Laurentreihe um $ \mbox{$z_0$}$ mit Koeffizienten $ \mbox{$a_k$}$ . Man nennt
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{-1} a_k(z-z_0)^k $}$
den Hauptteil der Laurentreihe, und
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-z_0)^k $}$
den Nebenteil der Laurentreihe.

Eine Laurentreihe konvergiert in einem Punkt $ \mbox{$z \in \mathbb{C}$}$ genau dann, wenn in diesem Punkt sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren.

Der Konvergenzbereich einer Laurentreihe kann stets durch einen Kreisring beschrieben werden. Genauer, ist $ \mbox{$\frac{1}{R_1}$}$ bzw. $ \mbox{$R_2$}$ der Konvergenzradius der Potenzreihe $ \mbox{$\sum_{k=1}^\infty a_{-k}z^k$}$ bzw. $ \mbox{$\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$}$ , so konvergiert die Laurentreihe $ \mbox{$\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k$}$ normal für

$ \mbox{$\displaystyle z\;\in\; K(z_0,R_1,R_2) \;:=\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; R_1\;<\; \vert z-z_0\vert \;<\; R_2\}\;, $}$
und sie divergiert für $ \mbox{$\vert z-z_0\vert<R_1$}$ oder $ \mbox{$\vert z-z_0\vert>R_2$}$ . Die Funktion
$ \mbox{$\displaystyle f: K(z_0,R_1,R_2)\;\to\;\mathbb{C}\;,\;\; z\;\mapsto\; \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k $}$
ist somit holomorph.

Laurentreihenentwicklung einer holomorphen Funktion.

Es sei $ \mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion. Es seien $ \mbox{$0 \le R_1 < R_2 \le \infty$}$ derart, daß $ \mbox{$K(z_0,R_1,R_2)\subseteq G$}$ . Dann läßt sich $ \mbox{$f$}$ als Laurentreihe um $ \mbox{$z_0$}$ entwickeln, d.h. es gilt

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in K(z_0,R_1,R_2) $}$
mit gewissen Koeffizienten $ \mbox{$a_k \in \mathbb{C}$}$ . Die $ \mbox{$a_k$}$ sind durch $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$K(z_0,R_1,R_2)$}$ eindeutig bestimmt; genauer gilt
$ \mbox{$\displaystyle a_k \;=\; \frac{1}{2\pi\text{i}} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\,\text{d}z $}$
für jedes $ \mbox{$r$}$ mit $ \mbox{$R_1< r < R_2$}$ .

Charakterisierung von Singularitäten mit Hilfe von Laurentreihen.

Es sei $ \mbox{$\ z_0 \in G$}$ eine Singularität einer holomorphen Funktion $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ . Es sei $ \mbox{$R>0$}$ derart, daß $ \mbox{$K(z_0,0,R)=B_R(z_0)\setminus\{z_0\}\subseteq G$}$ . Dann läßt sich die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ mit Hilfe der Laurentreihenentwicklung

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in K(z_0,0,R) $}$
charakterisieren. Die Singularität $ \mbox{$z_0$}$ von $ \mbox{$f$}$ ist

Ist $ \mbox{$z_0$}$ eine hebbare Singularität, so ist die Laurentreihe von $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$K(z_0,0,R)$}$ gleich der Potenzreihenentwicklung von $ \mbox{$f$}$ um $ \mbox{$z_0$}$ .

Residuen.

Es sei $ \mbox{$z_0 \in \mathbb{C}$}$ eine isolierte Singularität einer holomorphen Funktion $ \mbox{$f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}$}$ . Es sei

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k(z-z_0)^k\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in K(z_0,0,R) $}$
die Laurentreihenentwicklung von $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$K(z_0,0,R)$}$ für ein geeignetes $ \mbox{$R>0$}$ . Dann nennt man
$ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(f) \;:=\; a_{-1} $}$
das Residuum von $ \mbox{$f$}$ an der Stelle $ \mbox{$z_0$}$ .

Ist $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$n$}$ von $ \mbox{$f$}$ , so gilt für das Residuum von $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$z_0$}$

$ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(f) \;=\; \frac{1}{(n-1)!}\left.\frac{\text{d}^{n-1}}{\text{d}z^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right\vert _{z=z_0} \;. $}$
Ist speziell $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ von $ \mbox{$f$}$ , so gilt für das Residuum von $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$z_0$}$
$ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(f) \;=\; \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)\;. $}$