Lösung.

  1. Ist $ \mbox{$g(z_0) \neq 0$}$ , so ist $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ der Funktion $ \mbox{$g \cdot f$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(g\cdot f) \;=\; \lim_{z \to z_0} (z-z_0)g(z)f(z)\;=\; g(z_0) \cdot \text{Res}_{z_0}(f)\;. $}$
    Ist andererseits $ \mbox{$g(z_0)=0$}$ , so ist $ \mbox{$z_0$}$ eine hebbare Singularität der Funktion $ \mbox{$g \cdot f$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(g\cdot f) \;=\;0 \;=\; g(z_0) \cdot \text{Res}_{z_0}(f)\;. $}$
  2. Hier ist $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ der Funktion $ \mbox{$\frac{1}{f}$}$ . Nach 1. gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{Res}_{z_0}\left(\dfrac{g}{f}\ri... ...z_0}{f(z)-f(z_0)}\vspace*{2mm}\\ &=& \dfrac{g(z_0)}{f'(z_0)}\;. \end{array}$}$
  3. In jedem Falle können wir
    $ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; (z-z_0)^m g(z)\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; z\in G\setminus\{z_0\}\;,\;\;g(z_0)\ne 0 $}$
    mit einem $ \mbox{$m\in\mathbb{Z}$}$ und einer holomorphen Funktion $ \mbox{$g:G\to\mathbb{C}$}$ schreiben. Dabei ist
    $ \mbox{$\displaystyle m \;=\; \begin{cases} n, & \text{falls {$\mbox{$z_0$}$} ... ...z_0$}$} Pol der Ordnung {$\mbox{$n$}$} von {$\mbox{$f$}$} ist}\;. \end{cases}$}$
    Es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{f'(z)}{f(z)} \;=\; \frac{m(z-z_0)^{m-1}g(z)+(z-z_0)^mg'(z)}{(z-z_0)^mg(z)} \;=\; \frac{m}{z-z_0}+\frac{g'(z)}{g(z)}\;. $}$
    Folglich ist $ \mbox{$z_0$}$ ist eine hebbare Singularität oder ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ der Funktion $ \mbox{$\frac{f'}{f}$}$ , und es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f}\right) \;=\; \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\left(\frac{m}{z-z_0}+\frac{g'(z)}{g(z)}\right) \;=\; m\;. $}$
  4. Es gilt $ \mbox{$\tan z =\frac{g(z)}{f(z)}$}$ mit $ \mbox{$g(z):=\sin z$}$ und $ \mbox{$f(z):= \cos z$}$ . Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle f(z_0)\;=\;0\;,\;\; f'(z_0)\;=\; -1\;\ne\; 0\;. $}$
    Daher ist $ \mbox{$z_0$}$ eine Nullstelle der Ordnung $ \mbox{$1$}$ von $ \mbox{$f$}$ . Nach 2. ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0} \left(\frac{g}{f}\right) \;=\; \frac{g(z_0)}{f'(z_0)} \;=\; -1\;. $}$
    Wegen $ \mbox{$g(z_0)\ne 0$}$ ist $ \mbox{$z_0$}$ ein Pol der Ordnung $ \mbox{$1$}$ von $ \mbox{$\frac{g}{f}$}$ , und der Hauptteil der Laurentreihenentwicklung von $ \mbox{$\tan z$}$ um $ \mbox{$\frac{\pi}{2}$}$ ergibt sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{-1}{z-\pi/2}\;. $}$

    Alternativ kann man das Residuum von $ \mbox{$\tan$}$ in $ \mbox{$\frac{\pi}{2}$}$ wie folgt berechnen.

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} \text{Res}_{z_0}(\tan) &=& \displa... ...sin\frac{\pi}{2}\right)\,\frac{1}{\cos'(\frac{\pi}{2})} &=& -1\;. \end{array}$}$