Lösung.

  1. (i)
    Die Funktion $ \mbox{$f(z):=\dfrac{z^2}{(1+z)^3}$}$ besitzt eine Singularität im Punkt $ \mbox{$z_0=-1$}$ . Es handelt sich offensichtlich um einen Pol dritter Ordnung. Das Residuum ist
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{-1}(f)\;=\;\left.\dfrac{1}{2!}\; \dfrac{\tex... ...^2}{\text{d}z^2} z^2\right\vert _{z=-1} \;=\; \dfrac{1}{2} \cdot 2 \;=\;1\;. $}$
    (ii)
    Die Funktion $ \mbox{$f(z):=z\cdot e^{\frac{1}{1-z}}$}$ besitzt eine Singularität im Punkt $ \mbox{$z_0=1$}$ . Die Laurentreihenentwicklung der Funktion $ \mbox{$f$}$ um den Punkt $ \mbox{$z_0$}$ ergibt sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f(z) &=& z \cdot \displaystyle\sum_{\... ...-\infty}^{-1} \dfrac{(-1)^\mu}{(-\mu-1)!(1-\mu)} (z-1)^\mu + z-1 \end{array}$}$
    Das Residuum ist also
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_1(f)\;=\; \dfrac{(-1)^{-1}}{(-(-1)-1)!(1-(-1))}\;=\; -\dfrac{1}{2}\;. $}$
    (iii)
    Die Funktion $ \mbox{$f(z):=\dfrac{1}{(z^2+1)(z-1)^2}=\dfrac{1}{(z+\text{i})(z-\text{i})(z-1)^2}$}$ besitzt Singularitäten in den Punkten $ \mbox{$z_0=\text{i}$}$ , $ \mbox{$z_1= -\text{i}$}$ und $ \mbox{$z_2=1$}$ . Bei $ \mbox{$z_0$}$ und bei $ \mbox{$z_1$}$ handelt es sich um Pole erster Ordnung, bei $ \mbox{$z_2$}$ hingegen um einen Pol zweiter Ordnung. Für die Residuen gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lclcl} \text{Res}_{\text{i}}(f) &=&\displa... ...left. \dfrac{-2z}{(z^2+1)}\right\vert _{z=1} &=& -\dfrac{1}{2}\;. \end{array}$}$
    (iv)
    Die Funktion $ \mbox{$f(z):=\dfrac{1}{\sin(\pi z)}$}$ besitzt in allen $ \mbox{$\ n \in \mathbb{Z}$}$ isolierte Singularitäten. Hierbei handelt es sich um Pole erster Ordnung, da
    $ \mbox{$\displaystyle \sin'(\pi n) \;=\; \pi \cos (\pi n) \;\neq \;0 \;\;\;\text{f\uml ur}\;\;\; n \in \mathbb{Z}\;. $}$
    Die Residuen ergeben sich also zu
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_n(f) \;=\; \dfrac{1}{\sin'(\pi n)} \;=\; \dfr... ...\dfrac{1}{\pi}& \text{ f\uml ur}\;\; n=2k+1,\, k \in \mathbb{Z} \end{cases} $}$
  2. (i)
    Der Punkt $ \mbox{$0$}$ ist $ \mbox{$(n-1)$}$ -fache Nullstelle des Zählers und $ \mbox{$n$}$ -fache Nullstelle des Nenners. Also handelt es sich beim Punkt $ \mbox{$0$}$ um einen Pol erster Ordnung. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_0 \left(\dfrac{z^{n-1}}{(\sin z)^n}\right) \;... ...) \;=\; \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{z}{\sin z}\right)^n \;=\; 1^n \;=\;1 \;. $}$
    (ii)
    Beim Punkt $ \mbox{$0$}$ handelt es sich um einen Pol erster Ordnung, da
    $ \mbox{$\displaystyle \left( \log (z+1) \right)' \;=\; \dfrac{1}{z+1} \;\neq\; 0 \;\;\text{f\uml ur}\;\; z=0\;. $}$
    Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \text {Res}_0 \left(\dfrac{z-1}{\log(z+1)}\right)\;=\; \left. \dfrac{z-1}{\frac{1}{z+1}} \right\vert _{z=0} \;=\; -1\;. $}$
    (iii)
    Es ist
    $ \mbox{$\displaystyle \left.( 1- \sqrt{2-z})'\right\vert _{z=1} \;=\; \left.\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2-z}}\right\vert _{z=1} \;=\; \dfrac{1}{2}\;. $}$
    Damit ist das Residuum
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_1 \left(\dfrac{z}{1- \sqrt{2-z}}\right)\;=\;2\;. $}$