Lösung.

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ besitzt einfache Pole in den Punkten $ \mbox{$\text{i}$}$ und $ \mbox{$-\text{i}$}$ . Für die Residuen gilt

$ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{\,\text{i}} (f) \;=\; \lim_{z\to\text{i}}(z-\text{i})f(z) \;=\; \frac{\text{i}}{2} $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{-\text{i}} (f) \;=\; \lim_{z\to -\text{i}}(z+\text{i})f(z) \;=\;-\frac{\text{i}}{2}\;. $}$
Es gilt nach dem Residuensatz
$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma \frac{\text{d}z}{1+z^2} \;=\; 2\pi\text{i... ...-\text{i}}(f)\right) \;=\; \pi(-w(\gamma,\text{i})+w(\gamma,-\text{i}))\;, $}$
d.h. das Ergebnis ist ein ganzzahliges Vielfaches von $ \mbox{$\pi$}$ .