Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$}$ definiert durch
    $ \mbox{$\displaystyle f(z) \;:=\; \frac{1}{z}\;. $}$
    Nach dem Satz über uneigentliche Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin x\,\text{d}x$}$ folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\sin x\, \text{d}x \;=\; \text... ... 0}e^{\text{i}z}\right) \;=\; \text{Im}\left(\pi\text{i}\right) \;=\; \pi\;. $}$
  2. Durch partielle Integration ergibt sich für $ \mbox{$T>0$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{-T}^T (\sin x)^2\c... ...}u\vspace*{2mm}\\ &\to& \pi\;\;\text{f\uml ur}\;\;T\to\infty\;. \end{array}$}$
    Folglich ist
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\,\text{d}x \;=\; \pi\;. $}$