Residuensatz und uneigentliche Integrale.

Residuensatz.

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet, und $ \mbox{$f$}$ sei meromorph auf $ \mbox{$G$}$ . Es sei $ \mbox{$\gamma$}$ ein geschlossener $ \mbox{$G$}$ -nullhomologer Weg, auf dem keine Singularitäten von $ \mbox{$f$}$ liegen. Dann besagt der Residuensatz, daß

$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f \;=\; 2\pi\text{i}\sum_{z\in G} w(\gamma,z)\text{Res}_z(f)\;. $}$
Dabei wird über die endlich vielen Singularitäten $ \mbox{$z$}$ von $ \mbox{$f$}$ im Inneren von $ \mbox{$\gamma$}$ summiert.

Uneigentliche Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\text{d}x$}$ .

Es sei $ \mbox{$G$}$ ein Gebiet mit $ \mbox{$\ \{z \in \mathbb{C} \,\vert\, \text{Im }z \ge 0\} \subseteq G$}$ , und $ \mbox{$z_1,\ldots,z_r\in G$}$ seien paarweise verschieden mit $ \mbox{$\text{Im }z_\nu>0$}$ , $ \mbox{$\nu=1,\ldots,n$}$ .

Der erste Satz ermöglicht es, das uneigentliche Integral $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f$}$ einer auf $ \mbox{$\text{Im }z\ge 0$}$ meromorphen Funktion $ \mbox{$f$}$ zu berechnen, sofern sie nur endliche viele Singularitäten hat, und diese nicht auf der reellen Achse liegen.

Es sei

(i)
$ \mbox{$f: G \setminus \{ z_1, \ldots, z_r \} \to \mathbb{C} $}$ holomorph,
(ii)
$ \mbox{$\displaystyle\lim_{z \to \infty,\; \text{Im }z \geq 0} z \cdot f(z) = 0$}$ .

Dann existiert das folgende uneigentliche Riemann-Integral und es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \text{d}x \;=\; 2\pi\text{i}\sum_{\nu=1}^r \text{Res}_{z_\nu} (f)\;. $}$

Uneigentliche Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin (\alpha x)\,\text{d}x$}$ .

Dieser Satz ermöglicht es, Integrale vom Typ $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin (\alpha x)\,\text{d}x$}$ zu berechnen, wobei $ \mbox{$f$}$ im Gegensatz zu obigen Voraussetzungen auch noch endlich viele einfache Pole auf der reellen Achse haben kann.

Es seien

(i)
$ \mbox{$\alpha>0$}$ ,
(ii)
$ \mbox{$x_1,\ldots,x_m\in\mathbb{R}$}$ paarweise verschiedene ganzzahlige Vielfache von $ \mbox{$\dfrac{\pi}{\alpha}$}$ ,
(iii)
$ \mbox{$f:G\setminus \{ z_1, \ldots, z_r,x_1,\ldots,x_m \} \to \mathbb{C} $}$ holomorph,
(iv)
$ \mbox{$f$}$ hat in $ \mbox{$x_1,\ldots,x_m$}$ jeweils einfache Pole,
(v)
$ \mbox{$\displaystyle\lim_{z \to \infty,\; \text{Im }z \geq 0} f(z) = 0$}$ .
Dann gilt
$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\sin (\alpha x)\, \text{d}x ... ...i} \sum_{\mu=1}^m \text{Res}_{z=x_\mu} (e^{\text{i}\alpha z}f(z))\right)\;. $}$
Beachte, daß die Pole von $ \mbox{$f$}$ auf der reellen Achse als Nullstellen von $ \mbox{$\sin(\alpha x)$}$ vorausgesetzt wurden, d.h. der Integrand $ \mbox{$f(x)\sin (\alpha x)$}$ ist stetig auf $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ .

Sind die $ \mbox{$x_i$}$ nicht Nullstellen von $ \mbox{$\sin(\alpha x)$}$ , sondern von $ \mbox{$\cos(\alpha x)$}$ , und gelten die obigen Voraussetzungen (i),(iii),(iv) und (v), so gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\cos (\alpha x)\, \text{d}x ... ...i} \sum_{\mu=1}^m \text{Res}_{z=x_\mu} (e^{\text{i}\alpha z}f(z))\right)\;. $}$

Trigonometrische Integrale.

Es sei $ \mbox{$R$}$ eine rationale Funktion in zwei Veränderlichen, d.h. es gebe Polynome $ \mbox{$P,Q\in\mathbb{C}[x,y]$}$ mit $ \mbox{$R=\frac{P}{Q}$}$ . Ferner gelte $ \mbox{$Q(x,y)\ne 0$}$ für alle $ \mbox{$(x,y)\in\mathbb{R}^2$}$ mit $ \mbox{$x^2+y^2=1$}$ . Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_0^{2\pi} R(\cos t,\sin t)\,\text{d}t \;=\; 2\pi\su... ...{z}\right),\frac{1}{2\,\text{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\right)\;. $}$