Lösung.

  1. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle z\;=\;e^{\text{i}t}\;,\;\; \cos t \;=\;\frac{z+z^{-1}}{... ...\cos(3t)\;=\;\frac{z^3+z^{-3}}{2}\;,\;\;\text{d}z\;=\;\text{i}z\text{d}t\;. $}$
    Damit wird
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos(3t)}{5-4\cos t} \,\text{d}t\;=... ...,\text{i}}\int_{\partial B_1(0)} \frac{z^6+1}{z^3(2z-1)(z-2)}\,\text{d}z\;. $}$
    Im Einheitskreis besitzt der Integrand einen Pol der Ordnung drei in $ \mbox{$z=0$}$ und einen einfachen Pol in $ \mbox{$z=\frac{1}{2}$}$ . Für die Residuen gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_0(f)\;=\; \lim_{z \to 0} \frac{1}{2!}\frac{\... ...{d}z^2}\left(z^3\cdot \frac{z^6+1}{z^3(2z-1)(z-2)}\right)\;=\; \frac{21}{8} $}$
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{1/2}(f)\;=\;\lim_{z \to 1/2} \left(z-\frac{1}{2}\right)\frac{z^6+1}{z^3(2z-1)(z-2)}\;=\; -\frac{65}{24}\;. $}$
    Nach dem Satz über die Berechnung trigonometrischer Integrale mittels Residuen ergibt sich also
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos(3t)}{5-4\cos t} \,\text{d}t \... ...{2\,\text{i}}\left(\frac{21}{8}-\frac{65}{24}\right)\;=\; \frac{\pi}{12}\;. $}$
  2. Die Funktion $ \mbox{$f(x):=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}$}$ ist bis auf die einfachen Pole $ \mbox{$\text{i}$}$ und $ \mbox{$2\,\text{i}$}$ holomorph in der oberen Halbebene. Die Residuen ergeben sich zu
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{\,\text{i}}(f)\;=\; \lim_{z \to \text{i}} (z-\text{i})f(z)\;=\; -\frac{\text{i}}{6} $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{2\,\text{i}}(f)\;=\; \left. \frac{1}{(z^2+1)(z+2\,\text{i})}\right\vert _{z=2\,\text{i}}\;=\; \frac{\text{i}}{12}\;. $}$
    Nach dem Satz über uneigentliche Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\text{d}x$}$ ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\text{d}x}{(x^2+1)(x^2+4)} ... ...}\left(-\frac{\text{i}}{6}+\frac{\text{i}}{12}\right)\;=\; \frac{\pi}{6}\;. $}$
  3. Die Funktion $ \mbox{$f(x):=\frac{x^2}{x^4+1}$}$ ist holomorph in der oberen Halbebene bis auf die Singularitäten $ \mbox{$z_0=\frac{\text{i}+1}{\sqrt{2}}$}$ und $ \mbox{$z_1=\frac{\text{i}-1}{\sqrt{2}}$}$ . Für die Residuen ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_0}(f)\;=\;\lim_{x \to z_0} (x-z_0)f(x)\;=\; \frac{\text{i}}{2\sqrt{2}(\text{i}-1)} $}$
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Res}_{z_1}(f)\;=\; \lim_{x \to z_1} (x-z_1)f(x)\;=\;\frac{-\text{i}}{2\sqrt{2}(\text{i}+1)}\;. $}$
    Die Voraussetzung
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{z\to\infty,\; \text{Im }z\ge 0} z\cdot f(z) \;=\; 0 $}$
    ist erfüllt. Nach dem Satz über die Berechnung uneigentlicher Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\text{d}x$}$ ergibt sich also
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+1}\,\text{d}x\;=\;\frac{\pi}{\sqrt{2}}\;. $}$

  4. Die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle f:\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Im }z>-1\}\;\to\;\mathbb{C}\;,\;\; f(z)\;:=\;\frac{1}{z^3+3z^2+z-5} $}$
    ist holomorph bis auf einfache Pole bei $ \mbox{$z_1=-2+\text{i}$}$ und $ \mbox{$x_1=1$}$ , denn es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle z^3+3z^2+z-5 \;=\; (z-1)(z+2-\text{i})(z+2+\text{i})\;. $}$
    Ferner gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{z\to\infty,\;\text{Im }z\ge 0} f(z) \;=\; 0\;. $}$
    Nach dem Satz über uneigentliche Integrale der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin (\alpha x)\,\text{d}x$}$ folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{\inft... ...}\right)\vspace*{2mm}\\ &=& -\dfrac{\pi}{10}(e^{-\pi}+1)\;. \end{array} $}$

  5. Die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle f: \{ z \in \mathbb{C}\;\vert\; \text{Im }z >-1\} \; \to \; \mathbb{C} \;,\;\; f(z)\;:=\;\frac{1}{(1+z^2)^n} $}$
    ist holomorph bis auf einen Pol der Ordnung $ \mbox{$n$}$ bei $ \mbox{$\text{i}$}$ . Ferner ist $ \mbox{$\lim_{z \to \infty} zf(z)=0$}$ . Nach dem Satz über die Berechnung von Integralen der Form $ \mbox{$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\text{d}x$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty ... ... &=& \dfrac{\pi}{4^{n-1}}\displaystyle {2n-2 \choose n-1} \;. \end{array} $}$