Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$g(z):=5z^5$}$ . Die Funktionen $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ sind holomorph auf $ \mbox{$\overline{B_1(0)}$}$ und $ \mbox{$\neq 0$}$ auf $ \mbox{$\partial B_1(0)$}$ . Für $ \mbox{$z\in\partial B_1(0)$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+g(z)\vert\;=\;\vert z^8-2z+1\vert \;\leq\; \vert z\vert^8 + 2\vert z\vert +1\;=\; 4 $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)\vert\;=\;\vert 5z^5\vert \;=\,5\;. $}$
    Also ist
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f+g\vert\;<\;\vert f\vert+\vert g\vert $}$
    auf $ \mbox{$\partial B_1(0)$}$ . Nach dem Satz von Rouché haben $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ gleich viele Nullstellen in $ \mbox{$G=B_1(0)$}$ , nämlich fünf (mit Vielfachheiten).
  2. Es sei $ \mbox{$g(z):=5z-1$}$ . Die Funktionen $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ sind holomorph auf $ \mbox{$\overline{B_1(0)}$}$ . Für $ \mbox{$z\in\partial B_1(0)$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+g(z)\vert\;=\;\vert 2z^4+1\vert\;\leq\;2\vert z\vert^4+1\;=\;3 $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)\vert\;=\;\vert 5z-1\vert\;\geq\;5\vert z\vert-1\;=\;4\;. $}$
    Also ist
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f+g\vert\;<\;\vert f\vert+\vert g\vert $}$
    auf $ \mbox{$\partial B_1(0)$}$ . Insbesondere folgt aus dieser Ungleichung, daß weder $ \mbox{$f$}$ noch $ \mbox{$g$}$ Nullstellen auf $ \mbox{$\partial B_1(0)$}$ haben. Nach dem Satz von Rouché haben $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ gleich viele Nullstellen in $ \mbox{$B_1(0)$}$ , nämlich eine.

    Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat $ \mbox{$f$}$ als Polynom vom Grade $ \mbox{$4$}$ genau vier Nullstellen in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ . Daher hat $ \mbox{$f$}$ genau drei Nullstellen in $ \mbox{$G$}$ .