Lösung.

Für jede holomorphe Funktion $ \mbox{$\varphi:G \to \mathbb{C}$}$ gilt nach der Formel für das null- und polstellenzählende Integral

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{2\pi\text{i}} \int_\gamma g\,\frac{\varphi'}{\varphi} \;=\; \sum_{z_0} w(\gamma,z_0)g(z_0)\text{ord}(\varphi,z_0)\;. $}$
Es sei nun $ \mbox{$w \in f(B_r(a))$}$ gegeben und $ \mbox{$\xi:=f^{-1}(w)$}$ . Wir wenden obige Formel an auf $ \mbox{$\varphi(z):=f(z)-w$}$ und $ \mbox{$g(z):=z$}$ . Wegen der Injektivität von $ \mbox{$f$}$ ist $ \mbox{$\xi$}$ die einzige Nullstelle von $ \mbox{$\varphi$}$ auf $ \mbox{$B_r(a)$}$ , und diese ist einfach. Also ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{2\pi \text{i}} \int_{\partial B_r(a)} z \,\frac{f'(z)}{f(z)-w}\,\text{d}z \;=\;g(\xi)\text{ord}(\varphi,\xi)\;=\;f^{-1}(w)\;. $}$