Wir betrachten die Funktion
für
.
Dann sind
und
differenzierbar, und es gilt
d.h.
erfüllt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und ist somit holomorph auf
.
Da
einfach zusammenhängend ist, besitzt
eine Stammfunktion
.
Es gilt folglich
Daher sind
und
differenzierbare Funktionen auf
, deren Gradienten übereinstimmen, d.h.
sie unterscheiden sich um eine Konstante
. Dann ist
holomorph auf
und
.