Lösung.

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle u_{xx} \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\,\frac{2x}{x^2... ...ac{2(x^2+y^2)-2x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} \;=\; 2\,\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle u_{yy} \;=\; \frac{\partial}{\partial y}\,\frac{2y}{x^2... ...{2(x^2+y^2)-2y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} \;=\; 2\,\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\;. $}$
Daher gilt $ \mbox{$u_{xx}+u_{yy}=0$}$ , und $ \mbox{$u$}$ ist folglich harmonisch.

Wir nehmen nun an, es gäbe eine holomorphe Funktion $ \mbox{$f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$\text{Re }f=u$}$ . Dann folgt für $ \mbox{$z=x+\text{i}y$}$ nach der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle f'(z) \;=\; u_x(x,y) -\text{i}u_y(x,y) \;=\; 2\,\frac{x}{x^2+y^2} -\text{i}\,\frac{2y}{x^2+y^2} \;=\; 2\,\frac{1}{z} $}$
für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$}$ , d.h. $ \mbox{$\frac{1}{2}\,f$}$ wäre eine Stammfunktion von $ \mbox{$\frac{1}{z}$}$ auf $ \mbox{$\mathbb{C}\setminus\{0\}$}$ . Das ist nicht möglich, denn ist bekanntlich $ \mbox{$\int_{\partial B_1(0)}\frac{1}{z}\,\text{d}z\;=\; 2\pi\text{i}$}$ .