Eigenschaften harmonischer Funktionen.

Definition.

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ eine offene Menge. Eine Funktion $ \mbox{$u:G\to\mathbb{R}$}$ heißt harmonisch, falls sie zweimal stetig partiell differenzierbar ist, und die Laplacesche Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \Delta u \;:=\; u_{xx}+u_{yy} \;=\; 0 $}$
auf $ \mbox{$G$}$ erfüllt. Dabei werde $ \mbox{$u(x,y)$}$ als Funktion zweier Veränderlicher $ \mbox{$(x,y)\in\mathbb{R}^2$}$ aufgefaßt.

Eigenschaften.

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ eine offene Menge, und $ \mbox{$u:G\to\mathbb{R}$}$ sei eine Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

Insbesondere ist eine harmonische Funktion unendlich oft differenzierbar.

Poissonsche Integralformel.

Es sei $ \mbox{$u:G\to\mathbb{R}$}$ harmonisch auf einem Gebiet $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ . Es sei $ \mbox{$R>0$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{B_R(z_0)}\subseteq G$}$ . Es sei $ \mbox{$z\in B_R(z_0)$}$ . Dann besagt die Poissonsche Integralformel, daß

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} u(z) &=& \dfrac{1}{2\pi\text{i}}\dis... ...{\text{i}t}-(z-z_0)\vert^2}\, u(z_0+Re^{\text{i}t})\,\text{d}t\;. \end{array}$}$
Der Term
$ \mbox{$\displaystyle \frac{R^2-\vert z-z_0\vert^2}{\vert\zeta-z\vert^2} \;=\;... ...{\text{i}t}-(z-z_0)\vert^2} \;=\; \frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-t)} $}$
heißt auch der Poisson-Kern von $ \mbox{$\zeta=z_0+Re^{\text{i}t}$}$ und $ \mbox{$z=z_0+re^{\text{i}\varphi}$}$ zum Radius $ \mbox{$R$}$ . Schreibt man $ \mbox{$z_0=x_0+\text{i}y_0$}$ und $ \mbox{$z=x+\text{i}y$}$ , so erhält man eine reelle Form dieser Formel
$ \mbox{$\displaystyle u(x,y) \;=\; \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-(x-x_... ...+R\cos t-x)^2+(y_0+R\sin t-y)^2}\, u(x_0+R\cos t,y_0+R\sin t)\,\text{d}t\;. $}$
Ist speziell $ \mbox{$z=z_0$}$ , so erhält man die Mittelwertformel
$ \mbox{$\displaystyle u(z_0)\;=\;\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(z_0 + R e^{\text{i}t})\,\text{d}t\;. $}$