Lösung.

Wir wenden die reelle Schreibweise der Poissonschen Integralformel mit $ \mbox{$z_0:=0$}$ und $ \mbox{$R>0$}$ beliebig an und erhalten

$ \mbox{$\displaystyle u(x,y) \;=\; \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} P(x,y,R,t) u(R\cos t,R\sin t)\,\text{d}t $}$
mit dem Poisson-Kern
$ \mbox{$\displaystyle P(x,y,R,t) \;=\; \frac{R^2-x^2-y^2}{(R\cos t-x)^2+(R\sin t-y)^2}\;. $}$
Es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} P_x(x,y,R,t) &=& P(x,y,R,t)\cdot\left... ...-y^2}+\dfrac{-2R\sin t+2y}{(R\cos t-x)^2+(R\sin t-y)^2}\right)\;. \end{array}$}$
Insbesondere folgt wegen $ \mbox{$P(x,y,R,t)\to 1$}$ für $ \mbox{$R\to\infty$}$ , daß
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{R\to\infty} P_x(x,y,R,t) \;=\; \lim_{R\to\infty} P_y(x,y,R,t) \;=\; 0\;. $}$
Daraus folgt wegen der Beschränktheit von $ \mbox{$u$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} u_x(x,y) &=& \displaystyle\lim_{R\t... ...\int_0^{2\pi} P_y(x,y,R,t) u(R\cos t,R\sin t)\,\text{d}t &=& 0\;. \end{array}$}$
Daher ist $ \mbox{$u$}$ konstant auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ .