Repetitorium Funktionentheorie

Hinweis.

Betrachte die Abbildung

$\mbox{$\displaystyle f:\overline{\mathbb{H}}\cup\{\infty\}\;\to\;\overline{\mathbb{E}}\;,\;\; f(z)\;:=\; \frac{z-\text{i}}{z+\text{i}} $}$

und die Funktion

$\mbox{$\displaystyle h:\partial\mathbb{E}\;\to\;\mathbb{R}\;,\;\; h(z)\;:=\; g(f^{-1}(z))\;. $}$

Dann gibt es genau eine stetige Funktion $\mbox{$\hat{u}:\overline{\mathbb{E}}\to\mathbb{R}$}$ mit

Um die Poissonsche Integralformel für $\mbox{$\hat{u}$}$ in eine Formel für $\mbox{$u$}$ umzuformen, sind folgende Identitäten sinnvoll.

$\mbox{$f^{-1}(e^{\text{i}t}) = \dfrac{\sin t}{\cos t-1}$}$ .
$\mbox{$\dfrac{1-\vert f(z)\vert^2}{\vert f(s)-f(z)\vert^2}= \dfrac{(1+s^2)y}{(s-x)^2+y^2}$}$ für $\mbox{$s\in\mathbb{R}$}$ und $\mbox{$z=x+\text{i}y$}$ .