Aufgabe.

(Das Dirichletsche Randwertproblem auf der oberen Halbebene.)

Es sei $ \mbox{$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$}$ eine stetige Funktion, und es existiere $ \mbox{$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=:\alpha$}$ . Zeige, daß es genau eine stetige Funktion $ \mbox{$u:\overline{\mathbb{H}}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}$}$ gibt mit

Zeige, daß $ \mbox{$u$}$ durch die Formel
$ \mbox{$\displaystyle u(x+\text{i}y) \;=\; \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{y}{(t-x)^2+y^2}\,g(t)\,\text{d}t $}$
gegeben ist.