Lösung.

(1)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \,{\mbox{d}}x \; =\; [-\cos x]_0^\pi \; =\; -\cos\pi + \cos 0 \; =\; 2\; . $}$
(2)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^\pi (\sin x)^2 \,{\mbox{d}}x ... ...c{\sin(2x)}{4}\right]_0^\pi\vspace*{2mm}\\ &=& \frac{\pi}{2}\;. \end{array}$}$
Wegen $ \mbox{$\sin x\in [0,1]$}$ ist $ \mbox{$(\sin x)^2 \leq \sin x$}$ für $ \mbox{$x\in [0,\pi]$}$. Somit ist a priori klar, daß das Resultat aus (2) unter dem aus (1) zu liegen hat. D.h. $ \mbox{$\pi\leq 4$}$.

(3)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^{\pi/4}\tan x \,{\mbox{d}}x &=... ...log(\cos(\pi/4))+\log(\cos 0)\vspace*{2mm}\\ &=& (\log 2)/2 \;. \end{array}$}$
Wir vergleichen dieses Integral mit dem Integral $ \mbox{$\int_0^{\pi/4}x \,{\mbox{d}}x$}$. Es gilt $ \mbox{$\tan 0=0$}$ und $ \mbox{$(\tan x)'=1+(\tan x)^2\geq 1$}$. Daraus folgt $ \mbox{$\tan x\geq x$}$ für $ \mbox{$x\in[0,\pi/2)$}$, und daher
$ \mbox{$\displaystyle \log 2 \;=\; 2\int_0^{\pi/4}\tan x \,{\mbox{d}}x \;\geq\; 2 \int_0^{\pi/4}x \,{\mbox{d}}x \;=\; \pi^2/16 \;. $}$