Lösung.

(1)
Die Funktion $ \mbox{$\frac{1}{x(\log x)^\alpha}$}$ ist für $ \mbox{$x>1$}$ monoton fallend, so daß wir das Integralkriterium für die Konvergenzbetrachtung anwenden dürfen.

Wir erhalten dann mit der Substitution $ \mbox{$u = \log x$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}} = x^{-1}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _3^\infty\frac{{\mb... ...m_{t\to\infty} [(1-\alpha)^{-1} u^{1-\alpha}]_{\log 3}^t\; , \\ \end{array}$}$
und dies konvergiert genau für $ \mbox{$\alpha > 1$}$, und zwar gegen $ \mbox{$(\alpha-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha}$}$. Als Abschätzungen für die Summe erhalten wir diesenfalls
$ \mbox{$\displaystyle (\alpha-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha}\;\leq\;\sum_{n = 3}^\... ...a-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha} + {\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^\alpha}}\; . $}$
Z.B. ergeben sich für $ \mbox{$\alpha = 1.1$}$ die Schranken
$ \mbox{$\displaystyle 9.906393 \;\approx\; 10(\log 3)^{-0.1}\;\leq\;\sum_{n = ... ...^{-0.1} + {\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^{1.1}}}\;\approx\; 10.206966 \; . $}$
Beachte, daß dagegen
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = 3}^{10000} \frac{1}{n(\log n)^{1.1}} \; \approx\; 2.064032 \;. $}$
Die Konvergenz ist also recht langsam.

(2)
Die Funktion $ \mbox{$\frac{1}{(\log^{[m]} x)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} x}$}$ ist für $ \mbox{$x>\exp^{[m]}0$}$ monoton fallend, so daß wir das Integralkriterium für die Konvergenzbetrachtung anwenden dürfen.

Wir erhalten dann mit der Substitution $ \mbox{$u = \log^{[m]} x$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}} = \prod_{\nu = 0}^{m-1} (\log^{[\nu]} x)^{-1}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _N^\infty\frac{{\mb... ...o\infty} [(1-\alpha)^{-1} u^{1-\alpha}]_{\log^{[m]} N}^t\; , \\ \end{array}$}$
und dies konvergiert genau für $ \mbox{$\alpha > 1$}$, und zwar gegen $ \mbox{$(\alpha-1)^{-1}(\log^{[m]} N)^{1-\alpha}$}$. Als Abschätzungen für die Summe erhalten wir diesenfalls
$ \mbox{$\displaystyle (\alpha-1)^{-1}(\log^{[m]} N)^{1-\alpha} \;\leq\;\sum_{n... ...frac{1}{(\log^{[m]} N)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} N}\; . $}$

Skizze von $ \mbox{$\log^{[3]}x$}$.

\includegraphics[width = 10cm]{s1_log3.eps}