Lösung.

(1)
Wir behaupten, daß $ \mbox{$\int_0^1 x^m (\log x)^n\,{\mbox{d}}x = (-1)^n {\displaystyle\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}}$}$. Induktion nach $ \mbox{$n$}$, beginnend mit $ \mbox{$n = 0$}$, liefert für $ \mbox{$n\geq 1$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^1 x^m \cdot (\log x)^n\,{\mbox... ...\\ & = & (-1)^n {\displaystyle\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}} \; . \\ \end{array}$}$
(2)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^1 x^x\,{\mbox{d}}x & = & \int_... ...}\vspace*{2mm} \\ & = & -\sum_{k = 1}^\infty (-k)^{-k}\; . \\ \end{array}$}$
Wollen wir das Integral auf $ \mbox{$10$}$ Stellen genau ausrechnen, so genügt es
$ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 x^x\,{\mbox{d}}x\;\approx\; \frac{1}{1^1} - \fr... ... \frac{1}{8^8} + \frac{1}{9^9} - \frac{1}{10^{10}} \;\approx\; 0.7834305107 $}$
zu berechnen, da sich der Betrag des Fehlers durch $ \mbox{$11^{-11}$}$ abschätzen läßt.

(In diesem Sinne stellt die angegebene Reihe in der Tat eine praktikable Berechnung des fraglichen Integrals dar.)

Skizze zu $ \mbox{$x^x$}$.

\includegraphics[width = 8cm]{s2_x^x.eps}