Aufgabe.

Wir schließen an eine Spannungsquelle mit Spannung $ \mbox{$U(t)$}$ seriell eine Spule mit Induktivität $ \mbox{$L>0$}$, einen Kondensator mit Kapazität $ \mbox{$C>0$}$ und einen Widerstand mit Widerstand $ \mbox{$2\sqrt{L/C}> R >0$}$ an. Für die Stromstärke $ \mbox{$I$}$ gilt dann

$ \mbox{$\displaystyle L\ddot{I} + R\dot{I}+{\displaystyle\frac{1}{C}}\,I \;=\; \dot{U} \;. $}$
Wir legen eine Wechselspannung $ \mbox{$U(t)=U_0\sin(\omega t)$}$ mit Frequenz $ \mbox{$\omega>0$}$ an.

(1)
Bestimme die allgemeine Lösung für die Stromstärke $ \mbox{$I(t)$}$.
(2)
Sei $ \mbox{$I_\infty(t)$}$ die Lösung mit konstanter Amplitude. Bestimme die Resonanzfrequenz $ \mbox{$\omega$}$; d.h. diejenige Frequenz $ \mbox{$\omega$}$, für die diese Amplitude maximal wird. Bestimme auch diese maximale Amplitude.