Beispiel.

Es seien $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ und $ \mbox{$f:M\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar im inneren Punkt $ \mbox{$x_0\in M$}$ mit dort nichtverschwindendem Gradienten. Es sei $ \mbox{$v_0:=\dfrac{\nabla f(x_0)}{\Vert\nabla f(x_0)\Vert}$}$ . Zeige mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, daß für alle Richtungen $ \mbox{$v\in\mathbb{R}^n$}$

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)\right\vert \;\leq\; \frac{\partial f}{\partial v_0}(x_0) $}$
ist. In dieser Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn $ \mbox{$v = \pm v_0$}$ .

Kurz, der Gradient $ \mbox{$\nabla f(x_0)$}$ zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs $ \mbox{$\dfrac{\partial f}{\partial v_0}(x_0)$}$ der Funktion $ \mbox{$f$}$ im Punkt $ \mbox{$x_0$}$ .