Repetitorium HM III

Logarithmus.

Die Exponentialfunktion $\mbox{$e^z = \exp(z):=\sum_{i=0}^\infty\frac{z^i}{i!}$}$ hat folgende Eigenschaften:

$\mbox{$\exp(0) = 1$}$ .
$\mbox{$\exp(z+w) = \exp(z)\, \exp(w)$}$ .
$\mbox{$\exp(k z) = \exp(z)^k$}$ für $\mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ .
$\mbox{$\exp(z) = \exp(x+\mathrm{i}y) = \exp(x) (\cos(y) + \mathrm{i}\, \sin(y))$}$ für $\mbox{$z=x+\mathrm{i}y$}$ , $\mbox{$x,y$}$ reell.
$\mbox{$\vert\exp(x+\mathrm{i}y)\vert = \exp(x)$}$ , $\mbox{$\arg(\exp(x+\mathrm{i}y)) = y_0$}$ mit $\mbox{$x,y$}$ reell, wobei $\mbox{$y_0\in (-\pi,\pi]$}$ und $\mbox{$y-y_0\in 2\pi\mathbb{Z}$}$ .
$\mbox{$\exp(z+2\pi \mathrm{i}k) = \exp(z)$}$ für $\mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ .

Die letzte Eigenschaft zeigt, daß bei der Umkehrfunktion eine Wahl getroffen werden muß. Setzen wir $\mbox{${\operatorname{Log}}(z) := \log(\vert z\vert) + \mathrm{i}\, \arg(z)$}$ , wobei $\mbox{$\log(\vert z\vert)$}$ der bekannte reelle Logarithmus ist, so gelten:

$\mbox{$\exp({\operatorname{Log}}(z)) = \exp(\log(\vert z\vert) + \mathrm{i}\, \arg(z)) = \vert z\vert \exp(\mathrm{i}\,\arg(z)) = z$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Log}}(\exp(z)) = \log(\vert\exp(z)\vert) + \mathrm{i}\, \arg(\exp(z)) = x + \mathrm{i}y_0$}$ , mit $\mbox{$z=x+\mathrm{i}y$}$ , wobei $\mbox{$y_0\in (-\pi,\pi]$}$ und $\mbox{$y-y_0\in 2\pi\mathbb{Z}$}$ . D.h. man muß beim Umkehren in dieser Richtung aufpassen.

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

$\mbox{${\operatorname{Log}}(1) = 0$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Log}}(zw) = {\operatorname{Log}}(z) + {\operatorname{Log}}(w) + 2\pi \mathrm{i}l$}$ für ein $\mbox{$l\in\mathbb{Z}$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Log}}(z^k) = k\, {\operatorname{Log}}(z) + 2\pi \mathrm{i}l$}$ für $\mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ und für ein $\mbox{$l\in\mathbb{Z}$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Log}}(\cos(y) + \mathrm{i}\, \sin(y)) = y_0$}$ , mit $\mbox{$x,y$}$ reell, wobei $\mbox{$y_0\in (-\pi,\pi]$}$ und $\mbox{$y-y_0\in 2\pi\mathbb{Z}$}$ .

Sind $\mbox{$z,w\in\mathbb{C}$}$ , $\mbox{$z\neq 0$}$ , so definiert man $\mbox{$z^w := \exp(w\,{\operatorname{Log}}(z))$}$ .