Lösung.

Es gilt $ \mbox{$\int_{\tilde \gamma} \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{\tilde \gamma'(t)}{\tilde \gamma(t)}\, dt = 0$}$.

Auf der anderen Seite gilt $ \mbox{$\int_\gamma \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}}{e^{\mathrm{i}t}}\,dt = \int_0^{2\pi} \mathrm{i}\,dt = 2\pi\mathrm{i}$}$.

Die Werte unterscheiden sich, da die zwischen $ \mbox{$\gamma$}$ und $ \mbox{$\tilde \gamma$}$ gelegene Teilmenge von $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ den nicht im Definitionsbereich von $ \mbox{$f(z) = \frac{1}{z}$}$ enthaltenen Punkt $ \mbox{$z = 0$}$ enthält.