Lösung.

Mit $ \mbox{$\tilde{\gamma}(t) = \mathrm{i}t$}$, $ \mbox{$t\in[0,2\pi]$}$, gilt zunächst $ \mbox{$\gamma(0) = \tilde{\gamma}(0)$}$ und $ \mbox{$\gamma(2\pi) = \tilde{\gamma}(2\pi)$}$. Die Funktion $ \mbox{$f(z) = z^2$}$ ist holomorph auf ganz $ \mbox{$G = \mathbb{C}$}$, also ist insbesondere die zwischen $ \mbox{$\gamma$}$ und $ \mbox{$\tilde \gamma$}$ eingeschlossene Teilmenge in $ \mbox{$G$}$ enthalten. Somit gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma z^2\, dz \; =\; \int_{\tilde{\gamma}} z^2\, ... ...=\; \int_0^{2\pi} -\mathrm{i}t^2\, dt \; =\; \frac{-8\mathrm{i}\pi^3}{3}\; . $}$