Wäre , so wäre das Maximum von auf der (kompakten) Menge ebenfalls größer als . Sei diesenfalls etwa , wobei notwendigerweise in liegt (Kreisscheibe ohne Rand), da . Also liegt in ein lokales Maximum von vor, und somit ist konstant auf nach dem Maximumprinzip. Aber es gibt auch ein mit .
Das ist ein Widerspruch, und mithin war die Annahme falsch.