Eine zweifach differenzierbare Funktion von der offenen Menge nach heißt harmonisch, falls
Sei , sei eine stetige Funktion. Gesucht ist eine stetige Funktion welche auf harmonisch ist, und welche der Randbedingung genügt.
Dieses Dirichletproblem hat als eindeutige Lösung die folgende Funktion. Sei , sei . Sei der Poissonkern gegeben durch
Eine Möbiustransformation der oberen Halbebene auf den Einheitskreis liefert dazuhin folgende Aussage.
Sei stetig mit . Dann ist die Dirichletsche Randwertaufgabe auf , für , eindeutig durch