Das Residuenkalkül erlaubt es, die Berechnung von Integralen über hier der
Einfachheit halber einfach geschlossene (ohne Überschneidungen) und gegen den
Uhrzeigersinn orientierte Wege auf die Betrachtung der isolierten Singularitäten
im Innern des Weges zurückzuführen.
Sei
ein einfach zusammenhängendes Gebiet, seien
.
Sei
holomorph. Sei
injektiv bis auf
, und umlaufe
die Punkte
, ...,
in mathematisch positiver Richtung.
Entwickeln wir
um
in eine Laurentreihe,
auf
, mit
so,
daß
. Man bezeichnet
auch als das Residuum von
in
, geschrieben
. Dann gilt
Zur Berechnung dieser Residuen ist folgende Formel nützlich.
Hat
in
einen Pol der Ordnung
,
so setzen wir
.
Die Funktion
ist nun holomorph auf die ungelochte Kreisscheibe
fortsetzbar. Es gilt
Anwendung findet der Residuensatz auch bei der Auswertung reeller Integrale.
Hierzu lasse man
ein Stück die reelle Achse
entlanglaufen, und kehre über das Komplexe wieder zum reellen Ausgangangpunk
zurück. Man lasse nun
so variieren, daß
in der Grenze der komplexe Anteil des Wegintegrals gegen Null geht.
Dann kann man auf das Wegintegral den Residuensatz anwenden,
und hat, wegen des verschwindenden komplexen Anteils,
in der Tat das gefragte reelle Integral berechnet. Z.B. gilt folgendes:
Seien
,
reelle Polynome mit
.
Sei
für alle
. Seien
, ...
die komplexen Nullstellen von
mit positivem Imaginärteil. Dann ist